Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство (лине́йным опера́тором из в ) над тем же полем называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,

.

для всех и .

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля как

множество всех линейных отображений из в превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства и являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что . Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство - банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Оператор , обратный линейному оператору , также является линейным оператором. Если - линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного оператора

Пусть линейный оператор действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {} как , причем из ортнонормированности базиса следует, что . Тогда вектор можно разложить в том же базисе с коэффициентами , где . Таким образом, в координатном представлении , где - координатное представление вектора , а -координатное представление вектора , соответственно {}-матрица оператора в данном базисе.

Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого :
      
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого :
      
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору — оператор на , заданный соотношением .
• Самосопряжённый оператор — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов (или симметрический) оператор — такой оператор , что для всех пар из области определения . Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение , в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора ; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
• Положительно определённый оператор. Пусть — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительным, если .

Связанные понятия

• Образом подмножества^[1] относительно линейного отображения A называется множество .
• Ядром линейного отображения называется подмножество , которое отображается в нуль:

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .

• Образом линейного отображения называется следующее подмножество :

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .

• Отображение прямого произведения линейных пространств и в линейное пространство называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор называется линейным неоднородным (или афинным), если он имеет вид

где  — линейный оператор, а  — вектор.

• Пусть . Подпространство называется инвариантным относительно линейного отображения, если ^[2].

Критерий инвариантности. Пусть — подпространство,такое что разлагается в прямую сумму: . Тогда инвариантно относительно линейного отображения тогда и только тогда, когда , где - проектор на подпространство .

• Фактор-операторы^[3]. Пусть  — линейный оператор и пусть  — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство по подпространству . Тогда фактор-оператором называется оператор действующий на по правилу: , где — класс из фактор-пространства, содержащий .

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: ;
• оператор интегрирования: ;
• оператор умножения на определённую функцию ;
• оператор интегрирования с заданным «весом»
• оператор взятия значения функции в конкретной точке : ^[4];
• оператор умножения вектора на матрицу: ;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• ;
• ;
• ;

где , , — вполне определённые функции, а — преобразуемая оператором функция.

Примечания

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал